O que é Movimento Circular Uniforme?
O Movimento Circular Uniforme, conhecido pela sigla MCU, ocorre quando um corpo percorre uma trajetória circular mantendo constante o módulo de sua velocidade.
Isso significa que o corpo percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Entretanto, embora o valor da velocidade permaneça constante, sua direção muda continuamente ao longo da trajetória.
Imagine um objeto preso à extremidade de um fio girando em uma circunferência. Em cada ponto, o vetor velocidade é tangente à trajetória. Como a direção desse vetor muda, existe uma aceleração orientada para o centro da circunferência: a aceleração centrípeta.
Portanto, no MCU:
a trajetória é circular;
o módulo da velocidade linear é constante;
a direção da velocidade muda continuamente;
a velocidade angular é constante;
a aceleração tangencial é nula;
existe aceleração centrípeta;
a aceleração centrípeta aponta para o centro da trajetória.
Ventiladores, rodas, engrenagens, discos e polias podem realizar movimentos aproximadamente circulares e uniformes quando giram com rotação constante.
É importante observar que o MCU é um modelo ideal. No mundo real, um objeto pode acelerar até atingir determinada rotação, manter essa rotação por algum tempo e depois desacelerar. Somente o trecho no qual a rotação permanece constante pode ser tratado como MCU.
Grandezas angulares
Nos movimentos retilíneos, estudamos grandezas como posição, deslocamento e velocidade linear. No movimento circular, também podemos descrever o movimento utilizando grandezas angulares.
Deslocamento angular
O deslocamento angular, representado por Δθ, indica o ângulo percorrido pelo corpo ao longo da trajetória circular.
No Sistema Internacional, o deslocamento angular é medido em radianos, representados por rad.
Uma volta completa corresponde a:
360° = 2π rad
Consequentemente:
meia volta corresponde a π rad;
um quarto de volta corresponde a π/2 rad;
três quartos de volta correspondem a 3π/2 rad.
O que é um radiano?
Um radiano é o ângulo central associado a um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência.
A relação entre o deslocamento angular e a distância percorrida sobre a circunferência é:
Δθ = ΔS/R
Nessa expressão:
Δθ é o deslocamento angular, em radianos;
ΔS é a distância percorrida sobre a circunferência;
R é o raio da trajetória.
Essa fórmula deve ser utilizada com o ângulo expresso em radianos.
Também podemos escrever:
ΔS = R·Δθ
Assim, conhecendo o raio e o deslocamento angular, podemos calcular a distância percorrida pelo corpo sobre a trajetória circular.
Velocidade angular
A velocidade angular indica a rapidez com que o ângulo descrito pelo corpo varia ao longo do tempo.
Ela é calculada por:
ω = Δθ/Δt
Em que:
ω é a velocidade angular;
Δθ é o deslocamento angular;
Δt é o intervalo de tempo.
Sua unidade no Sistema Internacional é o radiano por segundo:
rad/s
No MCU, a velocidade angular permanece constante.
Principais fórmulas do MCU
As principais relações utilizadas em exercícios de Movimento Circular Uniforme são:
| Grandeza física | Fórmula | Unidade no SI |
|---|---|---|
| Deslocamento angular | Δθ = ΔS/R | rad |
| Distância percorrida | ΔS = R·Δθ | m |
| Velocidade angular | ω = Δθ/Δt | rad/s |
| Frequência | f = n/Δt | Hz |
| Período | T = Δt/n | s |
| Relação entre período e frequência | f = 1/T | Hz |
| Velocidade angular | ω = 2π/T = 2πf | rad/s |
| Velocidade linear | v = ω·R | m/s |
| Velocidade linear | v = 2πR/T = 2πR·f | m/s |
| Aceleração centrípeta | ac = v²/R = ω²·R | m/s² |
| Força resultante centrípeta | Fc = m·v²/R = m·ω²·R | N |
Significado dos símbolos:
Δθ: deslocamento angular;
ΔS: distância percorrida sobre a circunferência;
R: raio da trajetória;
ω: velocidade angular;
v: velocidade linear;
T: período;
f: frequência;
n: número de voltas;
Δt: intervalo de tempo;
ac: aceleração centrípeta;
Fc: resultante das forças na direção centrípeta;
m: massa do corpo.
Antes de escolher uma fórmula, identifique as grandezas fornecidas pelo problema e verifique se todas estão expressas nas unidades do Sistema Internacional.
Velocidade linear e velocidade angular
A velocidade linear e a velocidade angular descrevem aspectos diferentes do movimento circular.
A velocidade angular informa quantos radianos o corpo percorre por unidade de tempo. Já a velocidade linear indica a rapidez com que ele percorre a própria circunferência.
Essas grandezas estão relacionadas pela expressão:
v = ω·R
Essa relação mostra que a velocidade linear depende da velocidade angular e do raio da trajetória.
Considere dois pontos localizados em um mesmo disco rígido em rotação. Como eles completam cada volta no mesmo intervalo de tempo, possuem:
a mesma velocidade angular;
o mesmo período;
a mesma frequência.
Porém, o ponto mais distante do centro percorre uma circunferência maior no mesmo intervalo. Portanto, ele apresenta maior velocidade linear.
Se dois pontos A e B pertencem ao mesmo disco e RB = 2RA, então:
vB = 2vA
Esse resultado aparece com frequência em questões sobre rodas, discos, plataformas giratórias e polias coaxiais.
A direção da velocidade linear é sempre tangente à trajetória. Isso significa que, em cada ponto, o vetor velocidade é perpendicular ao raio que liga o corpo ao centro da circunferência.
Período e frequência
O período e a frequência são grandezas fundamentais para descrever movimentos repetitivos.
Período
O período, representado por T, é o tempo necessário para o corpo completar uma volta.
T = Δt/n
Sua unidade no Sistema Internacional é o segundo.
Se uma roda leva 0,5 segundo para completar uma volta, seu período é:
T = 0,5 s
Frequência
A frequência, representada por f, indica quantas voltas são completadas por unidade de tempo.
f = n/Δt
No Sistema Internacional, a frequência é medida em hertz:
1 Hz = 1 volta por segundo
Se uma roda realiza cinco voltas por segundo, sua frequência é:
f = 5 Hz
Relação entre período e frequência
Período e frequência são grandezas inversamente proporcionais:
f = 1/T
T = 1/f
Quanto maior a frequência, menor será o tempo necessário para completar uma volta.
Conversão de rpm para hertz
Motores, ventiladores e equipamentos industriais frequentemente apresentam sua rotação em rpm, isto é, rotações por minuto.
Para converter rpm em hertz, dividimos o valor por 60:
f = valor em rpm/60
Um ventilador que realiza 1.200 rpm possui frequência:
f = 1.200/60
f = 20 Hz
Isso significa que o ventilador completa 20 voltas por segundo.
Seu período será:
T = 1/20
T = 0,05 s
A velocidade angular também pode ser calculada por:
ω = 2πf
Nesse exemplo:
ω = 2π·20
ω = 40π rad/s
Aceleração centrípeta
Mesmo quando o módulo da velocidade permanece constante, um corpo em MCU apresenta aceleração. Isso acontece porque a direção do vetor velocidade muda continuamente.
A aceleração responsável por essa mudança é chamada de aceleração centrípeta.
Seu módulo pode ser calculado por:
ac = v²/R
ou:
ac = ω²·R
A aceleração centrípeta apresenta:
direção radial;
sentido voltado para o centro da trajetória;
direção perpendicular à velocidade linear em cada ponto.
No MCU, a aceleração centrípeta não aumenta nem diminui o módulo da velocidade. Sua função é modificar a direção do movimento.
O que altera a aceleração centrípeta?
Considerando a expressão:
ac = v²/R
podemos concluir que:
se a velocidade linear dobrar, a aceleração centrípeta ficará quatro vezes maior;
se o raio dobrar, mantendo a mesma velocidade linear, a aceleração centrípeta será reduzida à metade.
Entretanto, quando a velocidade angular permanece constante, usamos:
ac = ω²·R
Nesse caso, um ponto mais distante do eixo apresenta maior aceleração centrípeta.
A força centrípeta é uma força nova?
Não. A expressão “força centrípeta” não representa um novo tipo de força.
Ela corresponde à resultante das forças que apontam para o centro da trajetória. Dependendo da situação, essa resultante pode ser produzida por:
força de tração;
força de atrito;
força gravitacional;
força normal;
força elétrica;
combinação de duas ou mais forças.
Seu módulo é:
Fc = m·a_c
Portanto:
Fc = m·v²/R
Em uma curva plana, por exemplo, o atrito entre os pneus e o solo pode desempenhar o papel de resultante centrípeta. No movimento de um satélite, a força gravitacional exerce esse papel.
Esse é um ponto bastante explorado no ENEM e nos vestibulares: a força centrípeta não deve ser acrescentada ao diagrama de forças como se fosse uma força independente.
Acoplamento de polias
Polias podem ser acopladas pelo mesmo eixo, por contato direto ou por uma correia. As relações entre suas velocidades dependem do tipo de acoplamento.
Polias no mesmo eixo
Quando duas polias giram presas ao mesmo eixo, apresentam:
ωA = ωB
Como possuem a mesma velocidade angular, também possuem a mesma frequência e o mesmo período:
fA = fB
TA = TB
As velocidades lineares de suas bordas, entretanto, dependem dos raios:
vA = ω·RA
vB = ω·RB
Portanto, a polia de maior raio apresenta maior velocidade linear na borda.
Polias ligadas por uma correia
Quando duas polias são ligadas por uma correia que não desliza, as velocidades lineares de suas bordas são iguais:
vA = vB
Utilizando v = ωR, obtemos:
ωA·RA = ωB·RB
Como ω = 2πf, também podemos escrever:
fA·RA = fB·RB
As frequências são inversamente proporcionais aos raios. Assim, a polia de menor raio gira com maior frequência.
Em uma correia aberta, as polias giram no mesmo sentido. Em uma correia cruzada, elas giram em sentidos opostos.
Polias em contato direto
Quando duas polias estão em contato direto e não ocorre deslizamento, suas bordas também apresentam velocidades lineares de mesmo módulo:
ωA·RA = ωB·RB
Entretanto, as polias giram em sentidos opostos.
Essa mesma lógica pode ser aplicada às engrenagens. A engrenagem menor gira mais rapidamente, enquanto a maior gira mais lentamente.
Exemplo resolvido
Uma roda de raio igual a 0,50 m realiza 120 rotações por minuto. Considerando que ela executa um Movimento Circular Uniforme, determine:
a) a frequência;
b) o período;
c) a velocidade angular;
d) a velocidade linear de um ponto localizado na borda;
e) a aceleração centrípeta desse ponto.
Resolução
Primeiramente, convertemos a rotação de rpm para hertz:
f = rpm/60
f = 120/60
f = 2 Hz
A roda realiza duas voltas por segundo.
Cálculo do período
T = 1/f
T = 1/2
T = 0,50 s
A roda leva meio segundo para completar cada volta.
Cálculo da velocidade angular
ω = 2πf
ω = 2π·2
ω = 4π rad/s
Considerando π ≈ 3,14:
ω ≈ 12,6 rad/s
Cálculo da velocidade linear
v = ω·R
v = 4π·0,50
v = 2π m/s
v ≈ 6,28 m/s
Cálculo da aceleração centrípeta
ac = v²/R
ac = (2π)²/0,50
ac = 8π² m/s²
Considerando π² ≈ 9,87:
ac ≈ 79 m/s²
Respostas
frequência: 2 Hz;
período: 0,50 s;
velocidade angular: 4π rad/s ou aproximadamente 12,6 rad/s;
velocidade linear: 2π m/s ou aproximadamente 6,28 m/s;
aceleração centrípeta: 8π² m/s² ou aproximadamente 79 m/s².
Exercícios sobre MCU
Exercício 1
Um corpo realiza um Movimento Circular Uniforme. É correto afirmar que:
a) sua velocidade vetorial permanece constante.
b) sua aceleração é nula.
c) o módulo da velocidade é constante, mas sua direção muda.
d) sua aceleração é tangente à trajetória.
e) sua trajetória é retilínea.
Exercício 2
Uma roda realiza 300 rotações por minuto. Sua frequência e seu período são, respectivamente:
a) 2 Hz e 0,50 s.
b) 5 Hz e 0,20 s.
c) 10 Hz e 0,10 s.
d) 30 Hz e 2,0 s.
e) 300 Hz e 1/300 s.
Exercício 3
Um ponto localizado a 0,40 m do eixo de rotação apresenta velocidade angular de 5 rad/s. Sua velocidade linear é:
a) 0,08 m/s.
b) 0,40 m/s.
c) 1,25 m/s.
d) 2,0 m/s.
e) 5,4 m/s.
Exercício 4
Um automóvel percorre uma curva circular de raio 5 m com velocidade de módulo igual a 10 m/s. O módulo da aceleração centrípeta é:
a) 2 m/s².
b) 5 m/s².
c) 10 m/s².
d) 20 m/s².
e) 50 m/s².
Exercício 5
Dois pontos, A e B, pertencem ao mesmo disco rígido em rotação uniforme. O ponto B está a uma distância do eixo duas vezes maior que a distância do ponto A. É correto afirmar que:
a) B possui metade da velocidade angular de A.
b) B possui o dobro da velocidade angular de A.
c) os dois pontos possuem a mesma velocidade linear.
d) os dois pontos possuem a mesma velocidade angular, mas B possui o dobro da velocidade linear.
e) A possui o dobro da frequência de B.
Exercício 6
Duas polias, A e B, estão ligadas por uma correia que não desliza. Seus raios são 20 cm e 5 cm, respectivamente. Se a frequência da polia A é 3 Hz, a frequência da polia B é:
a) 0,75 Hz.
b) 3 Hz.
c) 6 Hz.
d) 12 Hz.
e) 15 Hz.
Exercício 7
Uma roda-gigante de raio 2 m completa uma volta a cada 4 segundos. A velocidade linear de uma pessoa localizada em sua borda é:
a) π/2 m/s.
b) π m/s.
c) 2π m/s.
d) 4π m/s.
e) 8π m/s.
Exercício 8
Um corpo de massa 0,50 kg movimenta-se com velocidade de 4 m/s em uma trajetória circular de raio 2 m. O módulo da resultante centrípeta é:
a) 1 N.
b) 2 N.
c) 4 N.
d) 8 N.
e) 16 N.
Gabarito comentado
1. Alternativa C. O módulo da velocidade é constante, mas sua direção muda ao longo da trajetória.
2. Alternativa B. A frequência é 300/60 = 5 Hz e o período é T = 1/5 = 0,20 s.
3. Alternativa D. Utilizando v = ωR, temos v = 5·0,40 = 2,0 m/s.
4. Alternativa D. A aceleração é a_c = v²/R = 10²/5 = 20 m/s².
5. Alternativa D. Os pontos do mesmo disco possuem a mesma velocidade angular. Como B está mais distante do eixo, sua velocidade linear é duas vezes maior.
6. Alternativa D. Como fA·RA = fB·RB, temos 3·20 = fB·5. Portanto, fB = 12 Hz.
7. Alternativa B. Aplicando v = 2πR/T, obtemos v = 2π·2/4 = π m/s.
8. Alternativa C. A resultante centrípeta é Fc = m·v²/R = 0,50·16/2 = 4 N.
Dúvidas frequentes
No MCU, a velocidade é constante?
O módulo da velocidade, também chamado de rapidez, permanece constante. Entretanto, o vetor velocidade não é constante porque sua direção muda continuamente.
Um corpo pode ter aceleração mesmo sem aumentar sua rapidez?
Sim. A aceleração também pode alterar apenas a direção da velocidade. No MCU, a aceleração centrípeta modifica a direção do movimento sem alterar o módulo da velocidade.
A aceleração centrípeta é constante?
Seu módulo permanece constante no MCU, desde que a velocidade e o raio não mudem. No entanto, sua direção varia continuamente, pois ela sempre aponta para o centro da trajetória. Por isso, o vetor aceleração centrípeta não é constante.
Qual é a diferença entre velocidade linear e velocidade angular?
A velocidade linear indica a distância percorrida sobre a circunferência por unidade de tempo. A velocidade angular indica o ângulo percorrido por unidade de tempo.
Elas estão relacionadas por:
v = ω·R
Qual é a diferença entre período e frequência?
O período é o tempo necessário para completar uma volta. A frequência indica quantas voltas são completadas por unidade de tempo.
Essas grandezas são inversamente proporcionais:
f = 1/T
Como converter rpm em hertz?
Basta dividir o número de rotações por minuto por 60:
f = rpm/60
Por exemplo, 600 rpm correspondem a:
f = 600/60 = 10 Hz
A força centrípeta é um novo tipo de força?
Não. A força centrípeta é o nome dado à resultante das forças orientadas para o centro da trajetória. Ela pode ser produzida pelo atrito, pela tração, pela gravidade, pela força normal ou por outras forças presentes no problema.
O que acontece se a velocidade do corpo aumentar?
Se o módulo da velocidade aumentar, o movimento deixa de ser circular uniforme. Nesse caso, além da aceleração centrípeta, haverá uma aceleração tangencial responsável pela mudança do módulo da velocidade.
Resumo das fórmulas no MCU:
Comentários
Postar um comentário